线性代数

线性代数是研究向量空间与线性映射的数学分支

向量

向量可以是任何东西只要满足

定义了加法
定义了标量乘法
满足向量空间的公理

向量空间

为了泛化所有满足以下条件的空间并讨论它们所满足的一般性性质向量空间因此而生:

严格的定义为: 向量空间是带有加法与标量乘法的集合V 满足如下性质

交换性
结合性
存在加法单位元
存在加法逆元
存在乘法单位元
具有分配率

我们记实数域为R 复数域为C, F表示R或C.

正例太多了我们举一个反例:

单位圆: \(x^2 + y^2 = 1\) 向量为(x,y). 那么标量乘法比如10乘(1,0) 会直接逃逸出去.
抛物线: 向量为(x,x^2). 很多标量乘法会直接不满足.

F

我们生活的空间是 \(F^3\) 但是通过线性代数我们可以研究n维情况.

所以我们定义 \(F^n\) , \(F^n\) 是 F上的向量空间

有

\[ \boxed{ F^n = {(x_1,..,x_n)} } \]

其中 \(x_i \in F\)

运算性质

加法: 对应坐标相加
加法交换性
0表示所有坐标为0且长度n的组
加法逆元: -x
标量乘法: 分别乘向量的每个坐标

函数向量空间

实际上许多函数也可以相加与相乘. 那么满足这些条件的函数的集合也是向量空间.

首先若函数 f与g 是从 S映射到F 即\(f: S->F\), \(g: S->F\)

我们记所有的 从S到F的所有函数的集合 为 \(F^S\)

加性: 对于 \(f + g \in F^S\) 有 \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
乘性: 对于 \(\lambda f \in F^S\) 有 \((\lambda f)(x) = \lambda f(x)\).

那么显然的:

具有交换性

\( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \) ,而 f与g 映射到 F,F具有交换性, 故\(f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x)\)

子空间

一个向量空间中自己也能独立自洽即也能独立完成所有线性运算的子集. 满足:

加法单位元0存在
加法封闭
标量乘法封闭

上述的条件表明: 子空间的任何运算不会逃逸出这个子空间. 它是封闭且自洽的.

子空间的和

子空间的和定义为: 子空间中元素所有可能的和所构成的集合.

子空间的和是包含这些子空间最小子空间

子空间的直和

当 子空间的和 中的元素可以被唯一的表示为每个子空间的一个向量的和时这样的子空间的和被称为直和.

直和揭示了: 一个向量能不能唯一地拆成来自几个子空间的向量的和

任何一个子空间里的非零向量都不能表示成其他子空间向量的线性组合.

若U与W都是V的子空间,U+W为直和当且仅当\(U \cap W\) = {0}

线性组合

两个数乘向量的组合被称为这两个向量的线性组合.

考虑向量v与向量w 线性组合为

\[ a v + b w \]

张成空间

给定向量 所有的 线性组合 的向量的集合被称为张成空间.

\[ span(v,w) \]

对于二维向量来说

若不共线则它们张成整个二维空间
若共线则它们长成一条直线

线性相关/线性无关

一组向量中至少有一个向量是多余的没有对张成空间做贡献或者说

至少有一个向量可以被其他向量给线性组合出来即这个向量落入了其他向量的张成空间. 那么它们是线性相关的.

反之若向量不是线性相关的那它们就是线性无关的.

有限维向量空间

若一个向量空间可以由该空间中的某个向量组张成那么这个向量空间是有限维的

多项式

多项式是一个函数 P: F -> F, 其中 \(a_i \in F\)

\[ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n \]

我们发现: 多项式具有交换性(因为a和x都属于F) 结合性单位元(0) 逆元 -p(x).

加法封闭: a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + b_0 + b_1 x + b_2 x^2 = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x^2
标量乘法封闭: \( \lambda a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \) 仍然是多项式

所以多项式是向量空间

多项式的次数定义为多项式的最高次项的次数
\(P_m (F)\) 是次数<=m的所有多项式的集合

基

若向量空间V中的一个向量组既线性无关又张成V 那么这个向量组是V的基

线性变换(线性映射)

线性变换(线性映射)的定义为: 具有加性与齐性的函数.

\[ T: V -> W \]

其中

加性: \(T(u+v) = Tu + Tv\) ,其中 u与v属于V
齐性: \(T(\lambda v) = \lambda (Tv)\),其中\(\lambda\)属于F,v属于V

从几何上讲: 原来在坐标系中的直线经过线性变换后仍然是直线.

假设一条直线: \( p + tv \) 其中 p是向量 v也是向量.

那么线性变换后得到: T(p+tv) = T(p) + tT(v) 仍然为直线

线性映射的集合

我们记从V到W的所有线性映射的集合为 L(V,W)

若M与N都属于L(V,W) 那么:

(M+N)(v) = Sv + Tv
\((\lambda M)(v) = M(\lambda v)\)
(MN)(v) = M(Nv)
具有单位元
具有分配性
V的基到W上的线性映射是唯一确定的.
L(V,W)是向量空间
0只会被线性映射为0

null空间

被线性变换T映射为0的向量的集合称为 T的零空间 null T.

若Tu = Tv 当且仅当u=v 则 T是单射
若T是单射那么0只能被0经过T变成0 其他的非0向量不可能被T变成0.

常见线性变换

根据加性与齐性我们发现这些操作都是线性变换

0函数
微分: T(f+g) = Tf + Tg, \(T(\lambda f) = \lambda T f\)
积分: T(f+g) = Tf + Tg, \(T(\lambda f) = \lambda T f\)

矩阵

矩阵是用来表示线性变换的一个记号. 省略掉基然后列出来就是矩阵.

但是注意: 线性变换才是线性代数研究的本质 矩阵是线性变换选取特定基的表示.

同一个线性变换,在不同基下对应不同的矩阵.

矩阵与基

实际上线性变换可以理解为: 系数不变改变基底.

我们来看一个2*2的矩阵:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 3 ,& 2 \\ -2 ,& 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

作用于向量

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

实际上就等于

\[\begin{split} 2 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

而这两个向量就是变换后的基.

矩阵乘法

线性变换是可以复合的.

比如线性变换T与G,先做G变换后做T变换.

\[ T(G(u)) \]

若

\[\begin{split} T = \begin{bmatrix} 1, & 1 \\ -1, & 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} G = \begin{bmatrix} 2, & 0 \\ 1, & 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

那么对u=(2,1)的两次线性变换可以写为

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1, & 1 \\ -1, & 0 \end{bmatrix} ( \begin{bmatrix} 2, & 0 \\ 1, & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} ) \end{split}\]

我们看出: 矩阵的线性变换是从右往左读的

现在我们通过对 基向量的变换自然而然的可以推导出矩阵的乘法.

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1, & 1 \\ -1, & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2, & 0 \\ 1, & 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

首先基向量(1,0) 与 (0,1) 在经过G的变化后:

\[\begin{split} i = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \\ j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

那么我们再使用T对i和j做线性变换

\[\begin{split} i = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} j = 0 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

那么i与j合并为线性变换矩阵就是

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 3 , & 1 \\ -2 , & 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

那么矩阵的结合律 便自然的出现了:

ABC = A(BC)

因为矩阵是从右向左的线性变换所以这是自然的.

维度

dim V为V的向量组的长度也叫维度.

那么有以下结论

若向量组中向量的数量大于n 那么一定线性相关
任意n个线性无关的向量一定构成一组基
任意n个张成整个空间的向量一定构成一组基

行列式

前面我们线性变换研究的是基的变换. 自然的我们也想研究线性变换对空间的缩放效果.

考虑线性变换:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 3, & 0 \\ 0, & 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

变换后的基为 (3,0) 与 (0,2). 初始面积为1 变换后为6 所以线性变换拉伸了6倍的面积.

这个线性变换的比例被称为行列式