# 线性代数 线性代数是研究**向量空间与线性映射**的数学分支 ## 向量 向量可以是任何东西 只要满足 - 定义了加法 - 定义了**标量**乘法 - 满足向量空间的公理 ## 向量空间 为了泛化所有满足以下条件的空间 并讨论它们所满足的一般性性质 向量空间因此而生: 严格的定义为: 向量空间是带有**加法**与**标量乘法**的集合V 满足如下性质 - 交换性 - 结合性 - 存在加法单位元 - 存在加法逆元 - 存在乘法单位元 - 具有分配率 我们记实数域为R 复数域为C, F表示R或C. 正例太多了 我们举一个反例: - 单位圆: $x^2 + y^2 = 1$ 向量为(x,y). 那么标量乘法 比如10乘(1,0) 会直接逃逸出去. - 抛物线: 向量为(x,x^2). 很多标量乘法会直接不满足. ### F 我们生活的空间是 $F^3$ 但是通过线性代数 我们可以研究n维情况. 所以我们定义 $F^n$ , $F^n$ 是 F上的向量空间 有 $$ \boxed{ F^n = {(x_1,..,x_n)} } $$ 其中 $x_i \in F$ #### 运算性质 - 加法: 对应坐标相加 - 加法交换性 - 0表示所有坐标为0且长度n的组 - 加法逆元: -x - 标量乘法: 分别乘向量的每个坐标 #### 函数向量空间 实际上 许多函数也可以相加与相乘. 那么满足这些条件的函数的集合也是向量空间. 首先 若函数 f与g 是从 S映射到F 即$f: S->F$, $g: S->F$ 我们记所有的 **从S到F的所有函数的集合** 为 $F^S$ - 加性: 对于 $f + g \in F^S$ 有 $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ - 乘性: 对于 $\lambda f \in F^S$ 有 $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$. 那么显然的: - 具有交换性 $ (f+g)(x) = f(x) + g(x) $ ,而 f与g 映射到 F,F具有交换性, 故$f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x)$ ### 子空间 一个**向量空间**中 自己也能独立自洽 即 也能独立完成所有线性运算的**子集**. 满足: - 加法单位元0存在 - 加法封闭 - **标量**乘法封闭 上述的条件表明: 子空间的任何运算不会 **逃逸** 出这个子空间. 它是**封闭且自洽的**. #### 子空间的和 子空间的和定义为: 子空间中元素**所有可能的和**所构成的集合. - 子空间的和是包含这些子空间**最小**子空间 #### 子空间的直和 当 **子空间的和** 中的元素 可以被**唯一的**表示为每个子空间的一个向量的和时 这样的子空间的和被称为直和. 直和揭示了: 一个向量能不能**唯一地**拆成来自几个子空间的向量的和 任何一个子空间里的非零向量 都不能表示成其他子空间向量的线性组合. - 若U与W都是V的子空间,U+W为直和当且仅当$U \cap W$ = {0} ## 线性组合 两个数乘向量的组合 被称为这两个向量的线性组合. 考虑向量v与向量w 线性组合为 $$ a v + b w $$ ## 张成空间 给定向量 **所有的** **线性组合** 的向量的集合 被称为**张成空间**. $$ span(v,w) $$ 对于二维向量来说 - 若不共线 则它们 **张成** 整个二维空间 - 若共线 则它们 **长成** 一条直线 ## 线性相关/线性无关 一组向量中**至少有一个**向量是多余的 没有对张成空间做贡献 或者说 至少有一个向量 可以被其他向量给**线性组合**出来 即这个向量落入了其他向量的**张成空间**. 那么它们是线性相关的. 反之 若向量不是线性相关的 那它们就是线性无关的. ## 有限维向量空间 若 一个向量空间 可以由 该空间中的某个向量组**张成** 那么这个向量空间是有限维的 ## 多项式 多项式是一个函数 P: F -> F, 其中 $a_i \in F$ $$ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$ 我们发现: 多项式具有交换性(因为a和x都属于F) 结合性 单位元(0) 逆元 -p(x). - 加法封闭: a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + b_0 + b_1 x + b_2 x^2 = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x^2 - 标量乘法封闭: $ \lambda a_0 + a_1 x + a_2 x^2 $ 仍然是多项式 所以多项式是**向量空间** - 多项式的次数定义为多项式的最高次项的次数 - $P_m (F)$ 是次数<=m的所有多项式的集合 ## 基 若向量空间V中的一个向量组既**线性无关**又**张成V** 那么这个向量组是V的基 ## 线性变换(线性映射) 线性变换(线性映射)的定义为: 具有**加性**与**齐性** 的函数. $$ T: V -> W $$ 其中 - 加性: $T(u+v) = Tu + Tv$ ,其中 u与v属于V - 齐性: $T(\lambda v) = \lambda (Tv)$,其中$\lambda$属于F,v属于V 从几何上讲: 原来在坐标系中的直线 经过线性变换后仍然是直线. 假设一条直线: $ p + tv $ 其中 p是向量 v也是向量. 那么线性变换后得到: T(p+tv) = T(p) + tT(v) 仍然为直线 ### 线性映射的集合 我们记从V到W的所有线性映射的集合为 L(V,W) 若M与N都属于L(V,W) 那么: - (M+N)(v) = Sv + Tv - $(\lambda M)(v) = M(\lambda v)$ - (MN)(v) = M(Nv) - 具有单位元 - 具有分配性 - V的基到W上的线性映射是**唯一确定**的. - L(V,W)是向量空间 - **0只会被线性映射为0** ### null空间 被线性变换T映射为0的**向量**的集合称为 T的零空间 null T. - 若Tu = Tv 当且仅当u=v 则 T是**单射** - 若T是单射 那么0只能被0经过T变成0 其他的非0向量不可能被T变成0. ### 常见线性变换 根据加性与齐性 我们发现这些操作都是线性变换 - 0函数 - 微分: T(f+g) = Tf + Tg, $T(\lambda f) = \lambda T f$ - 积分: T(f+g) = Tf + Tg, $T(\lambda f) = \lambda T f$ ## 矩阵 矩阵是用来表示线性变换的一个记号. 省略掉基 然后列出来 就是矩阵. 但是注意: **线性变换才是线性代数研究的本质** **矩阵是线性变换选取特定基的表示**. 同一个线性变换,在不同基下对应不同的矩阵. ### 矩阵与基 实际上线性变换可以理解为: 系数不变 改变基底. 我们来看一个2*2的矩阵: $$ \begin{bmatrix} 3 ,& 2 \\ -2 ,& 1 \end{bmatrix} $$ 作用于向量 $$ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} $$ 实际上就等于 $$ 2 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} $$ 而这两个向量就是变换后的**基**. ### 矩阵乘法 线性变换是可以复合的. 比如线性变换T与G,先做G变换后做T变换. $$ T(G(u)) $$ 若 $$ T = \begin{bmatrix} 1, & 1 \\ -1, & 0 \end{bmatrix} $$ $$ G = \begin{bmatrix} 2, & 0 \\ 1, & 1 \end{bmatrix} $$ 那么对u=(2,1)的两次线性变换可以写为 $$ \begin{bmatrix} 1, & 1 \\ -1, & 0 \end{bmatrix} ( \begin{bmatrix} 2, & 0 \\ 1, & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} ) $$ 我们看出: 矩阵的线性变换是**从右往左**读的 现在我们通过对 **基向量**的变换 自然而然的可以推导出矩阵的乘法. $$ \begin{bmatrix} 1, & 1 \\ -1, & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2, & 0 \\ 1, & 1 \end{bmatrix} $$ 首先 基向量(1,0) 与 (0,1) 在经过G的变化后: $$ i = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \\ j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ 那么我们再使用T对i和j做线性变换 $$ i = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} $$ $$ j = 0 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 那么i与j合并为线性变换矩阵就是 $$ \begin{bmatrix} 3 , & 1 \\ -2 , & 0 \end{bmatrix} $$ 那么矩阵的**结合律** 便自然的出现了: - ABC = A(BC) 因为矩阵是从右向左的线性变换 所以 这是自然的. ## 维度 dim V为V的向量组的长度 也叫维度. 那么有以下结论 1. 若向量组中向量的数量大于n 那么一定线性相关 2. 任意n个**线性无关**的向量一定构成一组基 3. 任意n个**张成整个空间**的向量一定构成一组基 ## 行列式 前面我们线性变换研究的是**基**的变换. 自然的 我们也想研究线性变换对空间的**缩放效果**. 考虑线性变换: $$ \begin{bmatrix} 3, & 0 \\ 0, & 2 \end{bmatrix} $$ 变换后的基为 (3,0) 与 (0,2). 初始面积为1 变换后为6 所以线性变换拉伸了6倍的面积. 这个线性变换的比例被称为**行列式**