函数

特殊函数

特殊函数是具有特定性质的函数. 它们的用途挺广的 和微分方程 各种分析学 概率论关系很大.

Gamma

Gamma是 第二类Euler积分, 是对阶乘的推广.

根据Bohr-Mollerup定理:

\[ \boxed{ \Gamma(x+1) = x \Gamma(x) } \]

  1. 初始条件: \(\Gamma(1) = 1\)

  2. 最重要的是 它具有 对数凸性 即 \(ln \Gamma(x)\)是凸的

那么唯一满足这些条件的函数就是Gamma函数.

Gamma函数的定义是

\[ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt \]

递推关系与阶乘对应

最基础的递推关系为阶乘的递推关系.

我们对\(\Gamma(z)\) 使用对t的分部积分.

\[\begin{split} \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt \\ = [-e^{-t} t^{z-1}]^{\infty}_0 - \int_{0}^{\infty} - e^{-t} (z-1) t^{z-2} dt \ \end{split}\]

左边的极限等于0 右边是 \((z-1) \Gamma(z-1)\)

所以有

\[ \boxed{ \Gamma(z) = (z-1) \Gamma(z-1) } \]

我们再来看 初始条件, \( G(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 1\)

那么, \(G(2) = 1 * G(1) = 1\), \(G(3) = 2\), \(G(4) = 6\).

则

\[ \boxed{ \Gamma(z) = (z-1)! } \]

对数凸性与Digamma函数

对数凸性是Gamma函数区别于其他的 阶乘函数的沿拓 的最重要的性质, 它是** 唯一**具有 对数凸性 的阶乘沿拓.

我们对\(\Gamma(z)\)取对数 得到\(ln\Gamma(z)\).

为了证明严格凸性 我们先求一次导.

\[ \frac{d}{dx} ln \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \]

这个函数很特殊 我们定义它叫做: Digamma函数 即 \(\psi(z)\).

\[ \boxed{ \psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} } \]

我们求第二次导.

\[\begin{split} \frac{d}{dx} \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} = \\ \frac{\Gamma''(z) \Gamma(z) - [\Gamma'(x)]^2}{\Gamma^2(x)}\end{split}\]

首先, \(\Gamma^2(x)\) 肯定是大于0的 那么我们分析 \(\Gamma''(z) \Gamma(z) - [\Gamma'(x)]^2\).

现在我们来回忆线性代数章节中的 内积 与 Cauchy-Schwarz不等式 或者微积分学中的这个不等式.

根据

\[ \boxed{ \| u\| \| v \| \geq | \langle u,v \rangle | } \]

我们定义内积为 \(L^2\)(不含复数) 内积:

\[ \langle f,g \rangle = \int f g \]

那么 范数为:

\[ \| u \| = \sqrt{ \langle u , u \rangle } = \sqrt{\int u^2} \]

那么有

\[ \boxed{ \int f^2 * \int g^2 \geq (\int f g)^2 } \]

我们将它应用于 \(\Gamma''(z) \Gamma(z) - [\Gamma'(x)]^2\)

那么自然的有:

\[ \boxed{ \int \Gamma(x)^2 * \int \Gamma''(x)^2 = \ \int (e^{-t} t^{x-1})^2 * \int (e^{-t} t^{x-1} (lnt)^2)^2 \geq \ (\int e^{-t} t^{x-1} e^{-t} t^{x-1} (lnt)^2 )^2 = \Gamma'(x) } \]

所以 \(ln \Gamma(x)\)的二阶导函数大于等于0 所以它具有对数凸性.